Zusammenfassung
Zahlenmengen
Ergänzt man zu Q die irrationalen Zahlen, so erhält man R.
∛5 ∈ R
√5 ∉ Q
∛0 ∈ R
und ∛0 ∈ N
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Für alle reellen Zahlen a und alle natürlichen Zahlen n gilt: a⁰ = 1 (a ≠ 0); a¹ = a
5⁰ = 1; (−3/7)⁰ = 1
0⁰ ist nicht definiert.
7¹ = 7; (−0,5)¹ = −0,5; 0¹ = 0
3 · 3 · 3 · 3 = 3⁴; a · a · a = a³
3⁻² = 1/3² = 1/9; (2/3)⁻¹ = 3/2
Wissenschaftliche Schreibweise
Bei der wissenschaftlichen Schreibweise schreibt man Zahlen als Produkt einer Zehnerpotenz und einer rationalen Zahl zwischen 1 und 10.
6,34 · 10⁴ = 63 400
18 900 000 = 1,89 · 10⁷
4,2 · 10⁻³ = 0,0042
0,0000051 = 5,1 · 10⁻⁶
n-te Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten
Potenzen mit rationalen Exponenten werden auch als Wurzeln geschrieben.
a^(1/n)=ⁿ√a
Für eine reelle Zahl a > 0 und ganze Zahlen m, n mit n ≥ 2 wird definiert: ⁿ√a ist diejenige positive Zahl b, für die bⁿ = a ist.
a heißt Radikand; n heißt Wurzelexponent.
ⁿ√(a^m) = (a^(n/m)) = ... = (ⁿ√a)^m
a^(1/n)=ⁿ√a
Für eine reelle Zahl a > 0 und ganze Zahlen m, n mit n ≥ 2 wird definiert: ⁿ√a ist diejenige positive Zahl b, für die bⁿ = a ist.
a heißt Radikand; n heißt Wurzelexponent.
ⁿ√(a^m) = (a^(n/m)) = ... = (ⁿ√a)^m
³√27 = 3, denn 3³ = 27
√((-2)²) = √4 = 2, denn 2² = 4
³√27 = 27^(1/3)
√5 = 5^(1/2)
³√2⁵ = 2^(5/3)
Potenzgesetze
Potenzen multiplizieren
gleiche Basen: aʳ · aˢ = aʳ⁺ˢ
gleiche Exponenten: aʳ · bʳ = (a · b)ʳ
Potenzen dividieren
gleiche Basen: aʳ : aˢ = aʳ⁻ˢ
gleiche Exponenten: aʳ : bʳ = (a : b)ʳ
Potenzen potenzieren
(aʳ)ˢ = aʳˢ
3² · 3³ = 3²⁺³ = 3⁵ = 243
2² · 1,5² = (2 · 1,5)² = 3² = 9
5⁴ : 5³ = 5⁴⁻³ = 5¹ = 5
0,4³ : 0,2³ = (0,4 : 0,2)³ = 2³ = 8
(4/3)² = 4²/3² = 16/9
Rechnen mit Potenzen und Wurzeln
Man kann mit Potenzen und Wurzeln rechnen und entsprechende Gleichungen lösen.
3 · ⁴√5 + 2 · ⁴√5 = 5 · ⁴√5
3 · ⁴√5 · 2 · ⁴√5 = 6 · ⁴√5
(3 · ⁴√5)² = 81 · 5
√x + 1 = 16; L = {255}
√x − 3 = −1; L = {32}