Zusammenfassung

Funktionen, in deren Gleichungen die Variable mit 2 als höchster Potenz auftritt, heißen quadratische Funktionen. Ihre Graphen nennt man Parabeln. Der Extrempunkt einer Parabel heißt Scheitelpunkt.
Quadratische Funktionen können keine, eine oder zwei Nullstellen haben. Der Graph der Funktion mit f(x) = x² heißt Normalparabel.

Der Graph der Funktion f mit f(x) = a(x + d)² + e ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt S(-d|e). Der Graph von f entsteht aus der Normalparabel
- durch Streckung (|a| > 1) oder Stauchung (|a| < 1) mit dem Streckfaktor |a|,
- für a < 0 zusätzlich durch Spiegelung an der x-Achse,
- durch Verschiebung entlang der x-Achse um |d| Einheiten (d < 0: nach rechts, d > 0: nach links),
- durch Verschiebung entlang der y-Achse um |e| Einheiten (e > 0: nach oben, e < 0: nach unten).

Jede quadratische Funktion kann durch ihre Gleichung in der allgemeinen Form f(x) = ax² + bx + c (a, b, c ∈ R, a ≠ 0) dargestellt werden. Dabei ist a der Streckungsfaktor und c der y-Achsenabschnitt.

Für eine quadratische Funktion mit den Nullstellen x₁ und x₂ kann die Funktionsgleichung auch in der faktorisierten Form f(x) = a(x - x₁)(x - x₂) dargestellt werden.

Gleichungen der Form ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0, a, b, c ∈ R, heißen quadratische Gleichungen. Eine quadratische Gleichung kann keine, eine oder zwei Lösungen haben. Quadratische Gleichungen in faktorisiert Form kann man mit dem Satz vom Nullprodukt lösen.

Jede quadratische Gleichung kann in die Form x² + px + q = 0 gebracht werden.

Quadratische Gleichungen der Form x² + px + q = 0 kann man mit der p-q-Formel lösen: x₁,₂ = -p/2 ± √((p/2)² - q), (p, q ∈ R).