Zusammenfassung
Potenzfunktionen
Eine Funktion mit der Gleichung
f(x) = xn
mit
n ∈ Z, n ≠ 0
heißt Potenzfunktion vom Grad
n.
n > 0:
Der Definitionsbereich ist D = R.
Die Graphen heißen Parabeln bzw. Potenzkurven.
n < 0:
Der Definitionsbereich ist D = R \ {0}.
Die Graphen heißen Hyperbeln. Sie bestehen aus zwei Ästen, die sich den Koordinatenachsen nähern, ohne sie zu berühren.
Der Funktionsgraph nähert sich beliebig an.
Asymptoten: waagerechte Asymptote y = 0, senkrechte Asymptote x = 0.
n > 0:
Der Definitionsbereich ist D = R.
Die Graphen heißen Parabeln bzw. Potenzkurven.
n < 0:
Der Definitionsbereich ist D = R \ {0}.
Die Graphen heißen Hyperbeln. Sie bestehen aus zwei Ästen, die sich den Koordinatenachsen nähern, ohne sie zu berühren.
Der Funktionsgraph nähert sich beliebig an.
Asymptoten: waagerechte Asymptote y = 0, senkrechte Asymptote x = 0.
n gerade:
f(-x) = f(x)
Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
n ungerade:
f(-x) = -f(x)
Graph ist punktsymmetrisch zu O(0|0).
Verschieben und Strecken bzw. Stauchen von Funktionsgraphen
Der Graph von
g mit
g(x) = a · f(x + c) + d
(a, b, c, d ∈ R, a ≠ 0) ergibt sich aus dem Graphen von
f durch:
Streckung/Stauchung mit dem Faktor |a| in y-Richtung.
|a| > 1 Streckung; |a| < 1 Stauchung.
a < 0: Der Graph von f wird zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.
Verschiebung um |d| LE in x-Richtung:
d > 0: Verschiebung nach links
d < 0: Verschiebung nach rechts
Verschiebung um |e| LE in y-Richtung:
e > 0: Verschiebung nach oben
e < 0: Verschiebung nach unten
Streckung/Stauchung mit dem Faktor |a| in y-Richtung.
|a| > 1 Streckung; |a| < 1 Stauchung.
a < 0: Der Graph von f wird zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.
Verschiebung um |d| LE in x-Richtung:
d > 0: Verschiebung nach links
d < 0: Verschiebung nach rechts
Verschiebung um |e| LE in y-Richtung:
e > 0: Verschiebung nach oben
e < 0: Verschiebung nach unten
g(x) = a · f(x)
f(x) = x⁴
g₁(x) = 2x⁴
g₂(x) = −1/2 x⁴
g(x) = f(x + d)
f(x) = x⁻¹
g₁(x) = (x + 1)⁻¹
g₂(x) = (x − 1,5)⁻¹
g(x) = f(x) + e
f(x) = x³
g₁(x) = x³ + 1
g₂(x) = x³ − 1,5
Wurzelfunktionen und Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten
Funktionen
f mit
f(x) = ⁿ√x = x1/n
mit
n ∈ N, n ≥ 2
heißen Wurzelfunktionen.
Funktionen g mit g(x) = ⁿ√(xm) = xm/n, m, n ∈ N, m ≠ 0, heißen Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten.
Definitions- und Wertebereich:
Falls m/n > 0: D = W = R0+
Falls m/n < 0: D = W = R*
Gemeinsamer Punkt: (1|1).
Für m/n > 0: Graph steigt monoton; Minimum bei 0.
Für m/n < 0: Graph fällt monoton.
Asymptoten: x = 0 und y = 0.
Funktionen g mit g(x) = ⁿ√(xm) = xm/n, m, n ∈ N, m ≠ 0, heißen Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten.
Definitions- und Wertebereich:
Falls m/n > 0: D = W = R0+
Falls m/n < 0: D = W = R*
Gemeinsamer Punkt: (1|1).
Für m/n > 0: Graph steigt monoton; Minimum bei 0.
Für m/n < 0: Graph fällt monoton.
Asymptoten: x = 0 und y = 0.
f(x) = ⁿ√x (n = 2; 3; 4)
g(x) = ⁿ√(xᵐ) (m = 3, n = 2)
D = R₀⁺, W = R₀⁺
g(x) = ³√(x²)
f₂(x) = √x
f₃(x) = ³√x
f₄(x) = ⁴√x