Zusammenfassung

Satz des Pythagoras, Höhen- und Kathetensatz

Für jedes Dreieck ABC gilt:
Wenn γ = 90°, so ist a² + b² = c².

Teilt die Höhe h die Hypotenuse c in die Abschnitte p und q, so gilt:
h² = p · q (Höhensatz)
a² = p · c und b² = q · c (Kathetensatz)

Gegeben: Dreieck ABC γ = 90°; c = 10 cm; b = 8 cm Gesucht: a a² + b² = c² a² = c² − b² a = √(c² − b²) = √((10 cm)² − (8 cm)²) a = √36 cm² a = 6 cm

Umkehrung des Satzes des Pythagoras

Wenn in einem Dreieck die Quadrate über zwei Seiten zusammen denselben Flächeninhalt haben wie das Quadrat über der dritten Seite, dann ist das Dreieck rechtwinklig.

Für jedes Dreieck ABC gilt:
Wenn a² + b² = c², dann ist γ = 90°.

Prüfe, ob das Dreieck ABC mit a = 2 cm, b = 3 cm und c = 4 cm rechtwinklig ist. Lösung: 2² = 4; 3² = 9; 4² = 16 4 cm² + 9 cm² ≠ 16 cm² Das Dreieck ist nicht rechtwinklig.

Sinus, Kosinus und Tangens

Rechtwinkliges Dreieck ABC mit β = 90°.

Für die Seitenverhältnisse im Dreieck ABC gilt:
sin(α) = Länge der Gegenkathete von α / Länge der Hypotenuse
cos(α) = Länge der Ankathete von α / Länge der Hypotenuse
tan(α) = Länge der Gegenkathete von α / Länge der Ankathete von α

Mithilfe der Gleichungen kann man in rechtwinkligen Dreiecken Innenwinkel und Längen von Dreiecksseiten berechnen.

Gegeben: Dreieck ABC (β = 90°) mit α = 30° und a = 5 cm Gesucht: b und γ Lösung: sin(α) = a/b b · sin(α) = a b = a/sin(α) b = 5 cm / 0,5 b = 10 cm cos(γ) = a/b cos(γ) = 5 cm / 10 cm cos(γ) = 0,5 γ = 60° Gegeben: Dreieck ABC (β = 90°) mit a = 60 cm und c = 40 cm Gesucht: α und b Lösung: tan(α) = a/c tan(α) = 60 cm / 40 cm α ≈ 56° cos(α) = c/b b = c/cos(α) b ≈ 72 cm

Pyramide

Für eine gerade Pyramide mit der Höhe h und den Grundkanten a und b gilt:

Seitenkante: s = √(h² + (d/2)²), mit d = √(a² + b²)

Seitenflächenhöhe: hₐ = √(h² + (b/2)²), hᵦ = √(h² + (a/2)²)

Oberflächeninhalt: Aₒ = a · b + a · hₐ + b · hᵦ