Zusammenfassung
Klasseneinteilungen und Histogramme
Häufigkeitsverteilungen können tabellarisch, aber auch grafisch beispielsweise mithilfe von Säulendiagrammen dargestellt werden.
Daten einer Liste können in Klassen mit einer vorgegebenen Klassenbreite eingeteilt werden. Die Einteilung der Daten in Klassen erfolgt lückenlos und überschneidungsfrei.
Histogramme sind Säulendiagramme mit einander berührenden Säulen gleicher Breite, deren Flächeninhalt jeweils ein Maß für die relative (bzw. absolute) Häufigkeit der Merkmalsausprägung ist.
Daten einer Liste können in Klassen mit einer vorgegebenen Klassenbreite eingeteilt werden. Die Einteilung der Daten in Klassen erfolgt lückenlos und überschneidungsfrei.
Histogramme sind Säulendiagramme mit einander berührenden Säulen gleicher Breite, deren Flächeninhalt jeweils ein Maß für die relative (bzw. absolute) Häufigkeit der Merkmalsausprägung ist.
Histogramm (Klassenbreite 5):
Lagemaße und Streuungsmaße
Arithmetisches Mittel:
\(\bar{x} = \frac{x_1 \cdot H(x_1) + x_2 \cdot H(x_2) + \dots + x_n \cdot H(x_n)}{H(x_1) + H(x_2) + \dots + H(x_n)}\)
Modalwert:
\(x_k\) mit der größten absoluten (relativen) Häufigkeit
Median (Zentralwert):
Wert in der Mitte aller der Größe nach geordneten Werte, bei gerader Anzahl das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte.
Spannweite: \(w = x_{max} - x_{min}\)
Varianz:
\[ V = \frac{(x_1-\bar{x})^2 \cdot H(x_1) + (x_2-\bar{x})^2 \cdot H(x_2) + \dots + (x_n-\bar{x})^2 \cdot H(x_n)}{H(x_1)+H(x_2)+\dots+H(x_n)} \]
Standardabweichung: \(s = \sqrt{V}\)
\(\bar{x} = \frac{x_1 \cdot H(x_1) + x_2 \cdot H(x_2) + \dots + x_n \cdot H(x_n)}{H(x_1) + H(x_2) + \dots + H(x_n)}\)
Modalwert:
\(x_k\) mit der größten absoluten (relativen) Häufigkeit
Median (Zentralwert):
Wert in der Mitte aller der Größe nach geordneten Werte, bei gerader Anzahl das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte.
Spannweite: \(w = x_{max} - x_{min}\)
Varianz:
\[ V = \frac{(x_1-\bar{x})^2 \cdot H(x_1) + (x_2-\bar{x})^2 \cdot H(x_2) + \dots + (x_n-\bar{x})^2 \cdot H(x_n)}{H(x_1)+H(x_2)+\dots+H(x_n)} \]
Standardabweichung: \(s = \sqrt{V}\)
Anzahl Geschwister 0 1 2 3
H(xₖ) 8 7 4 1
x̄ = (0·8 + 1·7 + 2·4 + 3·1) / (8 + 7 + 4 + 1)
= (7 + 8 + 3) / 20 = 0,9
Modalwert: 0
Median: 1
Minimum: 0
Maximum: 3
Spannweite: w = 3 − 0 = 3
V = [8·(0−0,9)² + 7·(1−0,9)² + 4·(2−0,9)² + 1·(3−0,9)²] / 20
≈ 0,79
s ≈ √0,79 ≈ 0,89
Darstellungen interpretieren
Bei der Darstellung von Daten sollten Regeln eingehalten werden, damit keine Fehlinterpretationen hervorgerufen werden.
Bei Säulendiagrammen sollte in der Regel die y-Achse bei 0 beginnen.
Bei Flächen- oder 3D-Diagrammen entsprechen nicht die Seitenlängen (bzw. Kantenlängen), sondern die Flächen (bzw. Volumina) den entsprechenden Anteilen.
Weitere häufige Fehler und Manipulationen sind überzogene Genauigkeit, Datenvergleich bei unterschiedlicher Bezugsbasis, falsches Festschreiben von Trends, Arbeiten mit nicht repräsentativen Stichproben, falsche Verwendung des Prozentbegriffs.
Bei Säulendiagrammen sollte in der Regel die y-Achse bei 0 beginnen.
Bei Flächen- oder 3D-Diagrammen entsprechen nicht die Seitenlängen (bzw. Kantenlängen), sondern die Flächen (bzw. Volumina) den entsprechenden Anteilen.
Weitere häufige Fehler und Manipulationen sind überzogene Genauigkeit, Datenvergleich bei unterschiedlicher Bezugsbasis, falsches Festschreiben von Trends, Arbeiten mit nicht repräsentativen Stichproben, falsche Verwendung des Prozentbegriffs.
Monat Regenmenge (in mm)
Nov. 90
Dez. 140
Jan. 150
Feb. 145
Da die y-Achse nicht bei 0 beginnt, entsteht der falsche Eindruck, dass es im Januar dreimal so viel regnet wie im November.