Zusammenfassung

Exponentielles Wachstum, exponentielle Abnahme

Wenn eine Größe je Einheit immer um den gleichen Faktor zunimmt (abnimmt), dann liegt ein exponentielles Wachstum (exponentielle Abnahme) vor.

Der Faktor heißt Wachstumsfatkor b.
- b > 1 exponentielles Wachstum
- 0 < b < 1 exponentielle Abnahme

n	0	1	2	3	4
B(n)	8	12	18	27	40,5

Es liegt ein Wachstum vor. Der Wachstumsfaktor ist 1,5.

Rekursive und explizite Formel

Lineares Wachstum (bzw. lineare Abnahme)

rekursiv: B(n) = B(n - 1) + c
explizit: B(n) = B(0) + n ⋅ c
c ist konstant, c E R ist der Wert, um den sich der Bestand je Zeiteinheit verändert.

Exponentielles Wachstum (bzw. exponentielle Abnahme)

rekursiv: B(n) = b ⋅ B(n - 1)
explizit: B(n) = B(0) ⋅ bⁿ
Um den Wachstumsfaktor b > 0, b ≠ 1, verändert sich der Bestand je Zeiteinheit.

Gib eine rekursive und eine explizite Formel zu der Wertetabelle an. Berechne B(15).

n	0	1	2	3	4
B(n)	4	12	36	108	324

Es liegt ein exponentielles Wachstum vor; b = 3. rekursiv: B(n) = 3 ⋅ B(n - 1) mit B(0) = 4 explizit: B(n) = 4 ⋅ 3ⁿ B(n) = 4 ⋅ 3ⁿ B(15) = 4 ⋅ 3¹⁵ = 57 395 628

Beschränktes Wachstum

Beschränktes Wachstum (bzw. beschränkte Abnahme)

Für eine Schranke S und einen Bestand f(x) mit dem Anfangswert f(0) und dem Wachstumsfaktor b gilt:
f(x) = S - (S - f(0)) ⋅ bˣ, 0 < b < 1.

Der Bestand nähert sich immer mehr der Schranke an (von unten oder von oben).

Zeichne die Graphen von f und g mit S = 20, b = 0,5, f(0) = 40

Exponentialfunktionen

Funktionsgleichungen mit Parametern der Form f(x) = a ⋅ bˣ⁺ᵈ + c (a, b, c, d E R, b > 0, b ≠ 1, a ≠ 0) stellen allgemeine Exponentialfunktionen dar. Der Graph von f entsteht aus dem Graphen von g mit g(x) = bˣ durch Stauchung für 0 < |a| < 1 bzw. Streckung für |a| > in y-Richtung mit dem Faktor |a|;
Verschiebung in y-Richtung um |c| LE für
c > 0 nach oben, für c < nach unten,
Verschiebung in x-Richtung um |d| LE für
d > nach links, für d < nach rechts,
er ist b > 1 monoton steigend, für 0 < b < 1 monoton fallend.

Untersuche die Funktion f mit f(x) = 3 ⋅ 2ˣ auf ihre Eigenschaften. - Schnittpunkt mit der y-Achse: (0 | 3) - Die x-Achse ist Asymptote. - Parameter 3 bewirkt die Streckung des Graphen von g mit g(x) = 2ˣ in Richtung der y-Achse. - keine Spiegelung an der x-Achse (3 > 0) - keine Spiegelung an der y-Achse (1 > 0) - keine Nullstelle

Regression

Mithilfe einiger Messwerte kann man mit einem CAS eine (auch exponentielle) Regressionsfunktion bestimmen.

Zeit (in min)	0	2	10	20
Temperatur (in °C)	8	11,5	17,8	19,5

s(t) = 20 - 11,623 ⋅ 0,852898ᵗ